证明当x>0时，lnx<根号x

令f(x)=lnx-√x
求导f'(x)=1/x-√x /2x=(1-√x )/2x
0<x<1 f'(x)>0,
x>1 f'(x)<0
可见f(x)在(0,正无穷）上是先增后减的，而f(1)是最大值
f(1)=0-1=-1
所以lnx-√x <=-1<0
lnx<√x

当x<1时，lnx<0,√x>0,显然等式成立。

当x>1时

两边同时取e的指数，则即为证明

x<e^(√x)

设 f(x)=x-e^(√x)

f'(x)=1-e^(√x)/(2√x)<0 .所以f(x)在x>1时是减函数。

且有f(1)=1-e<0,所以f(x)<0

所以 x>0 ,有lnx<√x

当0<x<=1时
lnx <= 0 ,√x > 0 可以得到 lnx < √x

当 x>1

x^(lnx) = x
因为 √x 〉1
x ^(√x) 〉x =x^(lnx)
可以得到 lnx<√x

x1>x2 x1-x2>0
假设f(x)=inx-√x
f(x1)-f(x2)=inx1-√x1-inx2+√x2
=(inx1-inx2)+(√x2-√x1)
=in(x1/x2)+(√x2-√x1)<0
f(1)<f(2),又x>0,f(x)<0
inx<√x

第一个回答最好! 最符合不等式函数定义!

一楼证明很专业.